MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS INDIVIDUALES

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

  Una medida de Tendencia Central es útil para describir el comportamiento de un grupo de datos que se haya tomado de una Población como Muestra para analizarlo, ya que esta representa en algún sentido la base de datos. Estas también son conocidas como Medidas de Posición, ya que dividen la serie de valores en dos grupos en un punto especifico de la serie.

Cada una de las Medidas de Tendencia Central, cumplen con una característica peculiar relacionada con los datos de la Muestra que la hacen valiosa para deducir comportamientos o tendencias de este grupo de datos.
   Empleando  estas medidas de centralización, las conclusiones a las que se llega gracias al análisis estadístico de la Muestra,  son  validas para la Población, siempre y cuando esta se haya tomado  a través de una técnica de muestreo acertada para que se pueda afirmar categóricamente que dicha Muestra es representativa de la Población.

  Las Medidas de Tendencia Central mas conocidas son:
1) La Media
2) La Mediana
3) La Moda
4) Los Cuantiles(cuartiles, deciles y  porcentiles)
5) La Media Geométrica

  Estas medidas estadísticas se calculan de manera diferente si los datos son individuales o si estos se han agrupado en una Tabla de Distribución de Frecuencia(TDF). Por esta razón, estos parámetros estadísticos se verán para ambos casos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS INDIVIDUALES.

MEDIA

  La Media se define como el promedio de una serie de valores, de los cuales, la mayoría se aproxima mas a esta medida, esto es, la mayor parte de los valores de la serie están mas cerca de esta medida estadística. Por otro lado, la Media divide la serie de datos en dos grupos, uno de ellos esta por debajo de su valor y el otro queda por arriba del mismo.

La formula para datos individuales es

  La media presenta ciertas propiedades interesantes y entender su significado permite resolver problemas practicos. Algunas de estas propiedades se aplicaran posteriormente, por lo pronto solo las enunciaremos.

PROPIEDADES

1) La Media Aritmética se afecta con la presencia de valores muy grandes o muy pequeños.

2) La suma de las diferencias de los valores de los cuales se origina la Media con respecto a esta, es igual a cero

3) La sumatoria de los cuadrados de las desviaciones o diferencias de cada valor con respecto a la media es un valor mínimo.

 MEDIANA

    La Mediana de una serie de datos individuales, ordenados de menor a mayor( o viceversa), se define como el valor que divide a todos los datos en dos partes iguales, el 50% de estos menores y el otro 50% mayores que el. La mediana entonces quedaría ubicada en el punto medio de la serie de valores ordenados. 

  Para determinar el valor de la mediana se siguen los pasos que se describen

1.-Se ordenan los datos en forma creciente o al revés.
2.-Se calcula su  posición con la formula

      

3.-El valor que se obtiene con la formula anterior corresponde a la posición en la que se lee la Mediana en la lista de datos, si el numero de datos es impar. En el caso en el que el numero de datos sea par, el valor de la Mediana se calculara como el promedio de los dos valores centrales.

MODA

  La Moda, para una serie de datos individuales, es aquella que se repite con mayor frecuencia.
  Una incertidumbre que es común al pensar cual parámetro estadístico emplear, entre la Media y la Mediana se disipa si tomamos en consideración lo siguiente:

1.- La media es mas representativa en el caso del empleo de datos numéricos que originen distribuciones simétricas.

  En este tipo de distribuciones, los valores de la media y la mediana son iguales y por ello ocupan el mismo lugar en la distribución de los datos.

2.-La mediana se emplea con mejor efectividad como medida de tendencia central, cuando los datos numéricos originan una distribución sesgada.

  Note que en esta gráfica el sesgo se da a la izquierda y en ella se observa que la mediana tiene un valor menor que el valor de la media. Cuando la distribución muestra un sesgo hacia la derecha, el valor de la media es menor que aquel que corresponde a la mediana.

EJERCICIOS RESUELTOS

  Determine la Media, Mediana y la Moda para la lista de calificaciones de 11 alumnos del Grupo 5ELM. Las calificaciones son 10, 10, 4, 0, 10, 9, 0, 10, 0, 10, 0, las cuales corresponden a los primeros alumnos en la lista de asistencia.

Calculamos la Media

  El numero de datos es 11, por lo tanto n=11, entonces la media es

MEDIA=5.73

Determinamos el valor de la Mediana.

  Para lograr el valor de la Mediana primero se calcula su posición, para lo cual, se ordenan los datos de menor a mayor. Los datos ordenados quedarían 0, 0, 0, 0, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10

  La posición de la Mediana

Esto significa que el Valor de la Mediana se encuentra en la sexta posición en los datos ordenados, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10. En la posición 6 de estos datos hay un valor de 9. Concluimos que el valor de la Mediana es igual a 9.

Determinamos el valor de la Moda

  Observe que el cero se repite 4 veces, el nueve 2 veces y el 10 se repite 5 veces. Entonces el valor de la Moda es 10, ya que es el numero que se repite mayor numero de veces.

  Calcule el valor de la Media, Mediana y Moda de la lista de datos 6, 2, 8, 5, 6, 3, 6, 10, 8, 5, 5, 15, 14 y 9.

Calculamos la MEDIA

Calculamos la MEDIANA

  Ordenamos los datos

2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 14, 15

    Determinamos su Posición

  La posición 7.5 corresponde al punto medio entre la posición 7 y 8. Esto significa que tenemos que calcular el promedio entre los valores que corresponden a la posición 7 y 8. En la posición 7 esta el seis y en la posición 8 esta también un  seis. El promedio de ambos valores es 6, según el calculo

 por lo que el valor de la Mediana es 6.

  Calculamos la MODA  

  

  Se observa que el 5 se repite tres veces, el 6 también se repite tres veces, el 8 se repite solo dos veces. Como el 5 y el 6 se repiten el mismo numero de veces y son los que con mayor frecuencia se repiten, se puede decir que esta lista de datos tiene dos modas. La lista de datos es bimodal.

CUANTILES
  
  Los Cuantiles son empleados como medida de posición. Esto es, indican valores ubicados en diferentes posiciones en una lista de datos. Se manejan tres diferentes tipos de Cuantiles; Cuartiles, Deciles y Porcentiles.  
  
  Cuartiles. Se identifican con la letra Qn, y dividen la lista ordenada de datos en cuatro partes. 

 El Cuartil 1(Q1), indica el valor que esta ubicado a un cuarto(al 25%) de la totalidad de la lista de datos.

 El Cuartil 2(Q2), muestra el valor que esta justo a los dos cuartos, o a la mitad(al 50%), de la lista ordenada de datos.  
 El Cuartil 3(Q3), da el valor que se encuentra a las 3 cuartas partes(al 75%) de la lista ordenada de los datos. en cuestión.

  Para conocer el valor de los Cuartiles, al igual que en el caso de la Mediana, la cual también es una medida de posición, es necesario proceder como se describe;

1) Se ordenan los datos, preferentemente de menor a mayor.
2) Se calcula la Posición del Cuartil deseado.
3) Se lee el Valor del Cuartil en la lista ordenada de datos en la posición calculada en el paso 2.

  Las formulas para calcular la posición de los Cuartiles 1, 2 y 3 son

   EJERCICIOS

  Para la lista de datos 4, 6. 8, 9, 15, 20, 23, 30, 32, 40, determine los valores del Cuartil 1 y Cuartil 3.

  Como la lista de datos ya esta ordenada, nos ahorramos el trabajo del paso 1 y procedemos a calcular la posición de cada Cuantil pedido, que es lo que indica el paso 2.

  

En esta lista tenemos 10 datos, por lo tanto N=10. Procedemos a calcular la posición del Cuartil 1

  

  lo cual indica que el valor del Cuartil 1 esta en la posición 3 de la lista ordenada de los datos en este problema

Note que en la posición 1 esta el 4, en la posición 2 esta el 6, y por ultimo vemos el valor 8 en la posición 3. Esto indica que el Valor del Cuartil 1 es igual a 8.

  Ahora calculamos el Cuartil 3(Q3), determinando primero su posición. LA Posición del Q3 es

lo cual indica que el valor del Cuartil 3 esta exactamente en la posición 8 de la lista de los datos ordenados dada en el ejercicio. Este valor corresponde a 30, entonces el Q3 =30.

  Deciles. Los Deciles seccionan la lista ordenada de datos en 10 partes.
  
El Decil 1(D1) indica la el valor que esta a una décima del total de la lista de los datos ordenados, esto es, indica el valor que esta a un 10% de el total de esta lista.
El Decil 2(D2) apunta el valor que esta a dos décimas(al 20%) del total de la lista ordenada de datos.
.
.
.
El Decil 9(D9) muestra el valor que esta ubicado a 9 décimas(90%) de el total de la lista de datos ordenados.

Las formulas para calcular la posición de los Deciles son

EJERCICIOS

  Determine el tercer Decil(D3) de la lista anterior de datos.

  Calculamos la posición del D3 con la formula

  esto  indica que el valor del Decil 3 esta justo en medio de la posición 3 y 4. Observando la lista anterior, nos damos cuenta que los valores en estas posiciones son el 8 y el 9, respectivamente Podemos calcular el valor de Decil 3  empleando la formula siguiente

esta formula es empleada para los casos en que resulte cualquier posición entre dos valores, o sea, para el caso en que la posición calculada, contenga cualquier fraccion decimal. En los casos especiales en los que  la posición lograda, resulte como decimal el 0.5, se puede determinar el valor del Cuantil deseado, calculando el promedio de los dos valores que están en las posiciones 3 y 4, esto es

  Porcentiles(Pn). Esta medida de posición, divide la lista de datos ordenada en 100 partes.

  El Porcentil 1(P1) da el valor que se encuentra al 1% del inicio de la serie ordenada de datos.

  El Porcentil 2(P2), indica e valor que se encuentra al 2% del inicio de la serie ordenada de datos.

  El Porcentil 3(P3) indica el valor que esta al 3% de la serie ordenada de datos, y así sucesivamente,  de forma que el Porcentil 99(P99) nos da el valor que se encuentra al 99% de los datos ordenados.

  Las formulas para determinar la posición de los Porcentiles son

EJERCICIO

  Calcule el valor del Porcentil 3 y el  Porcentil 25 de la lista de datos  4, 6. 8, 9, 15, 20, 23, 30, 32, 40.

  Primero determinamos la posición del P1 empleando la formula

este valor indica que el valor del Porcentil 1 esta entre la Posición cero y la Posición 1 de la lista ordenada de datos. En la posición cero no hay ningún valor, esto significa que a esta posición le corresponde un cero. En la posición 1 se tiene un cuatro, por lo tanto el Valor del Porcentil 1 es

Calculamos ahora el Porcentil 25, empleando la formula

esto quiere decir que el valor del Porcentil 25 se encuentra en la posición 3 de la lista de datos dada, a saber,

P25 = 8

ya que en la posición tres de la lista indicada hay un 8.

EJERCICIOS PROPUESTOS

  Calcule la Media, Mediana y Moda para cada una de la lista de datos dada

1) 5, 8, 9, 0, 3, 5, 7, 2, 4

2) 5, 12, 18, 20, 6, 5, 18, 21, 7, 4

3) 20, 30, 12, 17, 16

4) 10, 21, 44, 20, 1000, 2, 8, 11

5) 2, 4, 7, 3, 8, 3, 5, 2 7, 120, 4, 3, 5, 25

6) Observe la influencia de los valores muy grandes en el valor de la Media en el inciso 4 y la influencia de los valores pequeños en el inciso 5. Explique.

6) El promedio de una serie de 10 valores es igual a 120, cual sera la suma de estos?

7) El promedio de las  calificaciones de 5 alumnos de Estadística es de 8.4. Si la calificación de Pedro es 10, la de Pepe es 8, la de Viridiana es 9, la de Casandra es 9.7. Ayuda a Casimiro a recordar su calificación.
8) Para la lista de datos 3, 6, 7, 10, 20, 26, 30, 35, 39, 41
calcule el Cuartil 2, Cuartil 3, Decil 4, Decil 5. Decil 7, Porcentil 25, Porcentil 50 y Porcentil 75.